Главная Косметичка

Чему равно натяжение нити формула. Напряженность поля заряженной нити

Рассмотрим бесконечную нить, несущую заряд, равномерно распределённый по её длине. Заряд, сосредоточенный на бесконечно нити, конечно, тоже бесконечен, и поэтому он не может служить количественной характеристикой степени заряженности нити. В качестве такой характеристики принимается «линейная плотность заряда ». Эта величина равна заряду, распределённому на отрезке нити единичной длины:

Выясним, какова напряженность поля, создаваемого заряженной нитью на расстоянии а от неё (рис. 1.12).

Рис. 1.12.

Для вычисления напряжённости вновь воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей и законом Кулона. Выберем на нити элементарный участок dl .На этом участке сосредоточен заряд dq = tdl , который можно считать точечным. В точке А такой заряд создаёт поле (см. 1.3)

Исходя из симметрии задачи, можно заключить, что искомый вектор напряжённости поля будет направлен по линии, перпендикулярной нити, то есть вдоль оси х . Поэтому сложение векторов напряжённости, можно заменить сложением их проекцией на это направление.

(1.7)

Рис. (1.12 b) позволяет сделать следующие заключения:

Таким образом

. (1.9)

Используя (1.8) и (1.9) в уравнении (1.7), получим

Теперь для решения задачи осталось проинтегрировать (1.10) по всей длине нити. Это означает, что угол a будет меняться от до .

В этой задаче поле обладает цилиндрической симметрией. Напряжённость поля прямо пропорциональна линейной плотности заряда на нити t и обратно пропорциональна расстоянию а от нити до той точки, где измеряется напряжённость.

Лекция 2 «Теорема Гаусса для электрического поля»

План лекции

Поток вектора напряженности электрического поля.

Теорема Гаусса для электрического поля.

Применение теоремы Гаусса для расчёта электрических полей.

Поле бесконечной заряженной нити.

Поле бесконечной заряженной плоскости. Поле плоского конденсатора.

Поле сферического конденсатора.

Первую лекцию мы закончили расчётом напряжённости полей электрического диполя и бесконечно заряженной нити. В обоих случаях использовался принцип суперпозиции электрических полей. Теперь обратимся ещё к одному методу вычисления напряжённости, основанному на теореме Гаусса для электрического поля. В этой теореме речь идёт о потоке вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность. Поэтому прежде чем преступить к формулировке и доказательству теоремы, обсудим понятие «поток вектора».

Поток вектора напряжённости электрического поля

Выделим в однородном электрическом поле плоскую поверхность (рис. 2.1.). Эта поверхность - вектор, численно равный площади поверхности DS и направленный перпендикулярно поверхности

Рис. 2.1.

Но единичный нормальный вектор может быть направлен как в одну, так и в другую сторону от поверхности (рис. 2.2.). Произвольно выберем положительное направление нормали так, как это показано на рис. 2.1. По определению потоком вектора напряжённости электрического поля через выделенную поверхность называется скалярное произведение этих двух векторов:

Рис. 2.2.

Если поле в общем случае неоднородно, а поверхность S , через которую следует вычислить поток, не плоская, то эту поверхность делят на элементарные участки , в пределах которых напряжённость можно считать неизменённой, а сами участки - плоскими (рис. 2.3.) Поток вектора напряжённости через такой элементарный участок вычисляется по определению потока

Здесь E n = E ∙ cosa - проекция вектора напряжённости на направление нормали . Полный поток через всю поверхность S найдём, проинтегрировав (2.3) по всей поверхности

(2.4)

Рис. 2.3.

Теперь представим себе замкнутую поверхность в электрическом поле. Для отыскания потока вектора напряжённости через подобную поверхность проделаем следующие операции (рис. 2.4.):

Разделим поверхность на участки . Важно отметить при этом, что в случае замкнутой поверхности положительной считается только «внешняя» нормаль .

Вычислим поток на каждом элементарном участке :

Обратите внимание на то, что вектор «вытекающий» из замкнутой поверхности создаёт положительный поток, а «втекающий» - отрицательный.

Для вычисления полного потока вектора напряжённости через всю замкнутую поверхность, все эти потоки нужно алгебраически сложить, то есть уравнение (2.3) проинтегрировать по замкнутой поверхности S

Силой натяжения называют ту, что действует на объект, сравнимый с проволокой, шнуром, кабелем, ниткой и так далее. Это могут быть несколько объектов сразу, в таком случае сила натяжения будет действовать на них и необязательно равномерно. Объектом натяжения называют любой предмет, подвешенный на все вышеперечисленное. Но кому это нужно знать? Несмотря на специфичность информации, она может пригодиться даже в бытовых ситуациях.

Например, при ремонте дома или квартиры . Ну и, конечно же, всем людям, чья профессия связана с расчетами:

инженерам;
архитекторам;
проектировщикам и пр.

Натяжения нити и подобных объектов

А зачем им это знать и какая от этого практическая польза? В случае с инженерами и конструкторами знания о мощи натяжения позволят создавать устойчивые конструкции . Это означает, что сооружения, техника и прочие конструкции смогут дольше сохранять свою целостность и прочность. Условно, эти расчеты и знания можно разделить на 5 основных пунктов, чтобы в полной мере понять, о чем идет речь.

1 Этап

Задача: определить силу натяжения на каждом из концов нити. Эту ситуацию можно рассматривать как результат воздействия сил на каждый конец нити. Она равняется массе, помноженной на ускорение свободного падения. Предположим, что нить натянута туго. Тогда любые воздействия на объект приведет к изменению натяжения (в самой нити). Но даже при отсутствии активных действий, по умолчанию будет действовать сила притяжения. Итак, подставим формулу: Т=м*g+м*а, где g – ускорение падения (в данном случае подвешенного объекта), а – любое иное ускорение, действующее извне.

Есть множество сторонних факторов, влияющих на расчеты – вес нити, ее кривизна и так далее . Для простых расчетов это мы не будем пока что учитывать. Иными словами – пусть нить будет идеальна с математической точки зрения и «без изъянов».

Возьмем «живой» пример. На балке подвешена прочная нить с грузом в 2 кг. При этом отсутствует ветер, покачивания и прочие факторы, так или иначе влияющие на наши расчеты. Тогда мощь натяжения равна силе тяжести. В формуле это можно выразить так: Fн=Fт=м*g, в нашем случае это 9,8*2=19,6 ньютона.

2 Этап

Заключается он в вопросе об ускорении . К уже имеющейся ситуации давайте добавим условие. Суть его в том, чтобы на нить действовало еще и ускорение. Возьмем пример попроще. Представим, что нашу балку теперь поднимают вверх со скоростью 3 м/с. Тогда, к натяжению прибавится ускорение груза и формула примет следующий вид: Fн=Fт+уск*м. Ориентируясь на прошлые расчеты получаем: Fн=19,6+3*2=25,6 ньютона.

3 Этап

Тут уже посложнее, так как речь идет об угловом вращении . Следует понимать, что при вращении объекта вертикально, сила, воздействующая на нить, будет намного больше в нижней точке. Но давайте возьмем пример с несколько меньшей амплитудой качания (по типу маятника). В этом случае для расчетов нужна формула: Fц=м* v²/r. Тут искомое значение обозначает дополнительную мощь натяжения, v – скорость вращения подвешенного груза, а r – радиус окружности, по которому вращается груз. Последнее значение фактически равняется длине нити, пускай она составляет 1,7 метра.

Итак, подставляя значения, находим центробежные данные: Fц=2*9/1,7=10,59 ньютона. А теперь, чтобы узнать полную силу натяжения нити, надо к имеющимся данным о состоянии покоя прибавить центробежную силу: 19,6+10,59=30,19 ньютона.

4 Этап

Следует учитывать меняющуюся силу натяжения по мере прохождения груза через дугу . Иными словами – независимо от постоянной величины притяжения, центробежная (результирующая) сила меняется по мере того, как качается подвешенный груз.

Чтобы лучше понять этот аспект, достаточно представить себе привязанный груз к веревке, которую можно свободно вращать вокруг балки, к которой она закреплена (как качели). Если веревку раскачать достаточно сильно, то в момент нахождения в верхнем положении сила притяжения будет действовать в «обратную» сторону относительно силы натяжения веревки. Иными словами – груз станет «легче», из-за чего ослабнет и натяжение на веревку.

Предположим, что маятник отклоняется на угол, равный двадцати градусам от вертикали и движется со скоростью 1,7 м/с. Сила притяжения (Fп) при этих параметрах будет равна 19,6*cos(20)=19,6*0,94=18,424 Н; центробежная сила (F ц=mv²/r)=2*1,7²/1,7=3,4 Н; ну а полное натяжение (Fпн) будет равняться Fп+ Fц=3,4+18,424=21,824 Н.

5 Этап

Его суть заключается в силе трения между грузом и другим объектом , что в совокупности косвенно влияет на натяжение веревки. Иначе говоря – сила трения способствует увеличению силы натяжения. Это хорошо видно на примере перемещения объектов по шершавой и гладкой поверхностях. В первом случае трение будет большим, поэтому и сдвигать предмет становится тяжелее.

Общее натяжение в данном случае вычисляется по формуле: Fн=Fтр+Fу, где Fтр – трение, а Fу – ускорение. Fтр=мкР, где мк – трение между объектами, а Р – сила взаимодействия между ними.

Чтобы лучше понять данный аспект, рассмотрим задачу. Допустим, у нас груз 2 кг и коэффициент трения равен 0,7 с ускорением движения 4м/с постоянной скорости. Теперь задействуем все формулы и получаем:

Сила взаимодействия - Р=2*9,8=19,6 ньютона.
Трение - Fтр=0,7*19,6=13,72 Н.
Ускорение - Fу=2*4=8 Н.
Общая сила натяжения - Fн=Fтр+Fу=13,72+8=21,72 ньютона.

Теперь вы знаете больше и можете сами находить и рассчитывать нужные значения. Конечно, для более точных расчетов нужно учитывать больше факторов, но для сдачи курсовой и реферата этих данных вполне достаточно.

Видео

Это видео поможет вам лучше разобраться в данной теме и запомнить ее.

В механике под нитью понимается материальная система одного измерения, которая под действием приложенных сил может принять форму любой геометрической линии. Нить, не оказывающая сопротивления изгибу и кручению, называется идеальной или абсолютно гибпой нитью. Идеальная нить может быть растяжимой или нерастяжимой (крайняя абстракция). В дальнейшем, при отсутствии специального указания, под термином «гибкая нить» или просто «нить» будем понимать идеальную нерастяжимую или растяжимую нить.

При расчете нити на прочность, вычислении поверхностных сил, действующих на нить, а также в ряде других случаев необходимо учитывать поперечные размеры нити. Поэтому, говоря об одномерности нити, мы, конечно, имеем в виду, что поперечные размеры малы по сравнению с длиной и что они не нарушают перечисленных выше свойств идеальной нити.

Модель идеальной нити представляет некоторую абстракцию, однако во многих случаях пряжа и нитки (в процессе их изготовления), тросы, цепи и канаты вполне удовлетворительно отвечают этой модели. К этой же модели сводятся иногда плоские задачи механики некоторых лент и оболочек. Поэтому теория идеальной нити имеет большое прикладное значение.

Пусть нить под действием приложенных к ней сил приняла некоторую равновесную конфигурацию.

Положение каждой точки растянутой или нерастяжимой нити будем определять дуговой координатой 5, отсчитываемой от фиксированной точки нити, например точки А (рис. 1.1). Выделим на нити какой-нибудь ее отрезок длиной и массой . Плотностью растянутой нити в точке (иногда говорят линейной плотностью) называется предел отношения при условии, что точка стремится по нити к точке М:

В общем случае линейная плотность нити зависит от выбранной точки, т. е.

Если до растяжения плотность нити была одинакова во всех точках, то нить называется однородной, в противном случае - неоднородной. При данном определении линейной плотности нити ее неоднородность может быть вызвана неоднородностью материала или различной площадью поперечного сечения нити.

Пусть нить находится в равновесии под действием распределенных сил. Сделаем в точке нити мысленный разрез и рассмотрим силу с которой часть нити, расположенная в направлении положительного отсчета дуговой координаты (на рис. 1.2 правая часть нити) действует на другую (левую) часть нити. Очевидно, что эта сила, называемая натяжением нити, направлена по общей касательной к нити в точке (в § 1.2 это утверждение будет доказано). Естественно, что левая часть нити действует на правую часть с

такой же по модулю, но направленной в противоположную сторону силой, т. е. силой

В каждой точке нити имеется свое натяжение Поэтому при равновесии натяжение нити будет функцией дуговой координаты

Если ввести единичный касательный вектор то будем иметь

где модуль натяжения нити.

Нормальное напряжение нити о определяется, как обычно, равенством

Здесь площадь поперечного сечения нити.

Пусть до растяжения длина элемента нити была а после растяжения она сделалась равной Так как растяжение нити зависит от нормального напряжения, то отношение представляет некоторую функцию а

Задавая функцию мы получим соответствующий закон растяжения, например упругое, пластическое растяжение и т. п. Остановимся более подробно на упругом растяжении однородной нити по закону Гука, когда выполняется равенство

где - модуль упругости нити. Пользуясь равенством (1.3), получим

где а удельное относительное удлинение нити. Если нить нерастяжима, то

Заметим, что модуль упругости нити имеет размерность обычной силы: в Международной системе физических единиц в технической системе соответственно и Очевидно, что

где модуль упругости материала нити пли

Пусть диаметры нити до и после растяжения. Тогда относительное изменение диаметра нити определится равенством

Считая, что нить изотропна и что растяяение подчинено закону Гука, будем иметь

где коэффициент Пуассона. Пользуясь равенствами (1.4) и (1.6), найдем значение диаметра нити после растяжения

Как правило, величина ничтожно мала по сравнению с единицей. Поэтому изменением диаметра нити при ее растяжении обычно пренебрегают (но крайней мере для стальных тросов) и полагают, что для растянутого троса

Рассмотрим нить, на которую действует распределенные по ее длине силы, например силы тяжести, силы

давления ветра и т. п. Главный вектор сил, действующих на элемент нити обозначим через и будем считать, что он приложен к точке находящейся мелщу (рис. 1.3). Силой, отнесенной к единице длины нити, или интенсивностью распределенных сил называется выражение

Отсюда с точностью до членов высшего порядка относительно получим

Размерность силы, отнесенной к единице длины нити, отличается от размерности обычной силы: в системе она равна в технической системе -

Распределенные силы, действующие на нить, можно разбить на массовые и поверхностные. К первым относятся силы, зависящие от массы нити, например силы тяжести и силы инерции. Поверхностные силы, например силы давления набегающего потока, от массы нити не зависят (они могут зависеть от площади продольного диаметрального сечения нити, т. е. от ее диаметра, скорости набегающего потока и других факторов).

Остановимся более подробно на массовых силах. Если через обозначить силу, отнесенную к единице длины, то сила отнесенная к единице массы нити, определится равенством

В частности, для силы тяжести будем иметь

где ускорение силы тяжести, сила тяжести, отнесенная к единице длины нити. Для однородной нерастянутой нити сила численно равна весу единицы длины пити.

Так как масса нити при растяжении не изменяется, то будем иметь

Отсюда, пользуясь равенством (1.3), получим

Таким образом, массовые силы, отнесенные к единице длины растяжимой нити, можно представить равенством

Поверхностные силы, отнесенные к единице длины, обычно пропорциональны диаметру нити

где коэффициент пропорциональности X зависит от разных факторов (например, от скорости потока, плотности среды и т. п.). Как уже отмечалось, в подавляющем большинстве случаев изменением диаметра растяжимой нити можно пренебречь, и тогда число в последней формуле следует считать постоянным. Для растяжимых нитей, модуль упругости которых очень мал, возможен случай, когда изменение диаметра нити нужно учесть. Тогда следует воспользоваться формулой (1.8).

В общем случае сила отнесенная к единице длины нити, зависит от дуговой координаты точки положения последней в пространстве, направления касательной или нормали к нити и натяжения Действительно, плотность и, следовательно, сила тяжести неоднородной нити зависят от положения точки на нити, т. е. от ее дуговой координаты Сила гидростатического давления направлена по нормали к нити и модуль ее пропорционален высоте уровня, т. е. эта сила зависит от координат точки. Из формулы (1.15) следует, что в аналитическое выражение силы отнесенной к единице длины растянутой нити, явно входит модуль

натяжения Поэтому, если рассматривать пить в прямоугольной системе координат то в общем случае будем иметьРис. 1.4.

Если же концы нити закреплены, то эти равенства могут служить для определения реакций точек закрепления. Чаще всего встречаются нити с двумя закрепленными концами, реже - нити с одним закрепленным и одним свободным концами, причем задается или можно определить из дополнительной информации значение силы, приложенной к свободному концу (положение его, как правило, неизвестно). Встречаются и более сложные граничные условия. Многие из них будут рассмотрены при изучении конкретных задач. Кроме непосредственных условий на границах, должны быть заданы геометрические (один или несколько) параметры, например длина нити, стрела провисания и т. п. Эти элементы мы будем условно относить также к граничным условиям.

Теперь можно сформулировать основную задачу о равновесии идеальной нити: даны действующие на нить силы (распределенные и сосредоточенные), закон растяжения нити и найдены в необходимом числе граничные условия. Требуется определить форму равновесия нити, натяжение ее в любой точке и изменение длины (для растяжимых нитей).

В заключение отметим, что при решении конкретных задач основные трудности возникают, как правило, при интегрировании дифференциальных уравнений равновесия нити. Однако следует иметь в виду, что во многих случаях уравнения равновесия нити интегрируются сравнительно легко, а наибольшие затруднения появляются при построении решения, удовлетворяющего граничным условиям.

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где dq – заряд, сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS , расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).


	Рис. 2.11	Рис. 2.12

Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток Ф Е через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к.Дляоснования цилиндра

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

;

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

(2.5.1)

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .

Тогда внутри плоскостей

(2.5.2)

Вне плоскостей напряженность поля

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то

(2.5.5)

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре ) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

(2.5.6)

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать (рис. 2.16).

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

В физике, сила натяжения - это сила, действующая на веревку, шнур, кабель или похожий объект или группу объектов. Все, что натянуто, подвешено, поддерживается или качается на веревке, шнуре, кабеле и так далее, является объектом силы натяжения. Подобно всем силам, натяжение может ускорять объекты или становиться причиной их деформации. Умение рассчитывать силу натяжения является важным навыком не только для студентов физического факультета, но и для инженеров, архитекторов; те, кто строит устойчивые дома, должны знать, выдержит ли определенная веревка или кабель силу натяжения от веса объекта так, чтобы они не проседали и не разрушались. Приступайте к чтению статьи, чтобы научиться рассчитывать силу натяжения в некоторых физических системах.

Шаги

Определение силы натяжения на одной нити

Определите силы на каждом из концов нити. Сила натяжения данной нити, веревки является результатом сил, натягивающих веревку с каждого конца. Напоминаем, сила = масса × ускорение . Предполагая, что веревка натянута туго, любое изменение ускорения или массы объекта, подвешенного на веревке, приведет к изменению силы натяжения в самой веревке. Не забывайте о постоянном ускорении силы тяжести - даже если система находится в покое, ее составляющие являются объектами действия силы тяжести. Мы можем предположить, что сила натяжения данной веревки это T = (m × g) + (m × a), где «g» - это ускорение силы тяжести любого из объектов, поддерживаемых веревкой, и «а» - это любое другое ускорение, действующее на объекты.
- Для решения множества физических задач, мы предполагаем идеальную веревку - другими словами, наша веревка тонкая, не обладает массой и не может растягиваться или рваться.
- Для примера, давайте рассмотрим систему, в которой груз подвешен к деревянной балке с помощью одной веревки (смотрите на изображение). Ни сам груз, ни веревка не двигаются - система находится в покое. Вследствие этого, нам известно, чтобы груз находился в равновесии, сила натяжения должна быть равна силе тяжести. Другими словами, Сила натяжения (F t) = Сила тяжести (F g) = m × g.
  - Предположим, что груз имеет массу 10 кг, следовательно, сила натяжения равна 10 кг × 9,8 м/с 2 = 98 Ньютонов.
Учитывайте ускорение. Сила тяжести - не единственная сила, что может влиять на силу натяжения веревки - такое же действие производит любая сила, приложенная к объекту на веревке с ускорением. Если, к примеру, подвешенный на веревке или кабеле объект ускоряется под действием силы, то сила ускорения (масса × ускорение) добавляется к силе натяжения, образованной весом этого объекта.
- Предположим, что в нашем примере на веревку подвешен груз 10 кг, и вместо того, чтобы быть прикрепленным к деревянной балке, его тянут вверх с ускорением 1 м/с 2 . В этом случае, нам необходимо учесть ускорение груза, также как и ускорение силы тяжести, следующим образом:
  - F t = F g + m × a
  - F t = 98 + 10 кг × 1 м/с 2
  - F t = 108 Ньютонов.
Учитывайте угловое ускорение. Объект на веревке, вращающийся вокруг точки, которая считается центром (как маятник), оказывает натяжение на веревку посредством центробежной силы. Центробежная сила - дополнительная сила натяжения, которую вызывает веревка, «толкая» ее внутрь так, чтобы груз продолжал двигаться по дуге, а не по прямой. Чем быстрее движется объект, тем больше центробежная сила. Центробежная сила (F c) равна m × v 2 /r где «m»– это масса, «v» - это скорость, и «r» - радиус окружности, по которой движется груз.
- Так как направление и значение центробежной силы меняются в зависимости от того, как объект движется и меняет свою скорость, то полное натяжение веревки всегда параллельно веревке в центральной точке. Запомните, что сила притяжения постоянно действует на объект и тянет его вниз. Так что, если объект раскачивается вертикально, полное натяжение сильнее всего в нижней точке дуги (для маятника это называется точкой равновесия), когда объект достигает максимальной скорости, и слабее всего в верхней точке дуги, когда объект замедляется.
- Давайте предположим, что в нашем примере объект больше не ускоряется вверх, а раскачивается как маятник. Пусть наша веревка будет длиной 1,5 м, а наш груз движется со скоростью 2 м/с, при прохождении через нижнюю точку размаха. Если нам нужно рассчитать силу натяжения в нижней точке дуги, когда она наибольшая, то сначала надо выяснить равное ли давление силы тяжести испытывает груз в этой точке, как и при состоянии покоя - 98 Ньютонов. Чтобы найти дополнительную центробежную силу, нам необходимо решить следующее:
  - F c = m × v 2 /r
  - F c = 10 × 2 2 /1.5
  - F c =10 × 2,67 = 26,7 Ньютонов.
  - Таким образом, полное натяжение будет 98 + 26,7 = 124,7 Ньютона.
Учтите, что сила натяжения благодаря силе тяжести меняется по мере прохождения груза по дуге. Как было отмечено выше, направление и величина центробежной силы меняются по мере того, как качается объект. В любом случае, хотя сила тяжести и остается постоянной, результирующая сила натяжения в результате тяжести тоже меняется. Когда качающийся объект находится не в нижней точке дуги (точке равновесия), сила тяжести тянет его вниз, но сила натяжения тянет его вверх под углом. По этой причине сила натяжения должна противодействовать части силы тяжести, а не всей ее полноте.
- Разделение силы гравитации на два вектора сможет помочь вам визуально изобразить это состояние. В любой точке дуги вертикально раскачивающегося объекта, веревка составляет угол «θ» с линией, проходящей через точку равновесия и центр вращения. Как только маятник начинает раскачиваться, сила гравитации (m × g) разбивается на 2 вектора - mgsin(θ), действуя по касательной к дуге в направлении точки равновесия и mgcos(θ), действуя параллельно силе натяжения, но в противоположном направлении. Натяжение может только противостоять mgcos(θ) - силе, направленной против нее - не всей силе тяготения (исключая точку равновесия, где все силы одинаковы).
- Давайте предположим, что, когда маятник отклоняется на угол 15 градусов от вертикали, он движется со скоростью 1,5 м/с. Мы найдем силу натяжения следующими действиями:
  - Отношение силы натяжения к силе тяготения (T g) = 98cos(15) = 98(0,96) = 94,08 Ньютона
  - Центробежная сила (F c) = 10 × 1,5 2 /1,5 = 10 × 1,5 = 15 Ньютонов
  - Полное натяжение = T g + F c = 94,08 + 15 = 109,08 Ньютонов.
Рассчитайте трение. Любой объект, который тянется веревкой и испытывает силу «торможения» от трения другого объекта (или жидкости), передает это воздействие натяжению в веревке. Сила трения между двумя объектами рассчитывается также, как и в любой другой ситуации - по следующему уравнению: Сила трения (обычно пишется как F r) = (mu)N, где mu - это коэффициент силы трения между объектами и N - обычная сила взаимодействия между объектами, или та сила, с которой они давят друг на друга. Отметим, что трение покоя - это трение, которое возникает в результате попытки привести объект, находящийся в покое, в движение - отличается от трения движения - трения, возникающего в результате попытки заставить движущийся объект продолжать движение.
- Давайте предположим, что наш груз в 10 кг больше не раскачивается, теперь его буксируют по горизонтальной плоскости с помощью веревки. Предположим, что коэффициент трения движения земли равен 0,5 и наш груз движется с постоянной скоростью, но нам нужно придать ему ускорение 1м/с 2 . Эта проблема представляет два важных изменения - первое, нам больше не нужно рассчитывать силу натяжения по отношению к силе тяжести, так как наша веревка не удерживает груз на весу. Второе, нам придется рассчитать натяжение, обусловленное трением, также как и вызванное ускорением массы груза. Нам нужно решить следующее:
  - Обычная сила (N) = 10 кг & × 9,8 (ускорение силы тяжести) = 98 N
  - Сила трения движения (F r) = 0,5 × 98 N = 49 Ньютонов
  - Сила ускорения (F a) = 10 kg × 1 м/с 2 = 10 Ньютонов
  - Общее натяжение = F r + F a = 49 + 10 = 59 Ньютонов.
Расчет силы натяжения на нескольких нитях
1. Поднимите вертикальные параллельные грузы с помощью блока. Блоки - это простые механизмы, состоящие из подвесного диска, что позволяет менять направление силы натяжения веревки. В простой конфигурации блока, веревка или кабель идет от подвешенного груза вверх к блоку, затем вниз к другому грузу, создавая тем самым два участка веревки или кабеля. В любом случае натяжение в каждом из участков будет одинаковым, даже если оба конца будут натягиваться силами разных величин. Для системы двух масс, подвешенных вертикально в блоке, сила натяжения равна 2g(m 1)(m 2)/(m 2 +m 1), где «g» - ускорение силы тяжести, «m 1 » - масса первого объекта, «m 2 »– масса второго объекта.
  - Отметим следующее, физические задачи предполагают, что блоки идеальны - не имеют массы, трения, они не ломаются, не деформируются и не отделяются от веревки, которая их поддерживает.
  - Давайте предположим, что у нас есть два вертикально подвешенных на параллельных концах веревки груза. У одного груза масса 10 кг, а у второго - 5 кг. В этом случае, нам необходимо рассчитать следующее:
    - T = 2g(m 1)(m 2)/(m 2 +m 1)
    - T = 2(9,8)(10)(5)/(5 + 10)
    - T = 19,6(50)/(15)
    - T = 980/15
    - T = 65,33 Ньютонов.
  - Отметим, что, так как один груз тяжелее, все остальные элементы равны, эта система начнет ускоряться, следовательно, груз 10 кг будет двигаться вниз, заставляя второй груз идти вверх.
2. Подвесьте грузы, используя блоки с не параллельными вертикальными нитями. Блоки зачастую используются для того, чтобы направлять силу натяжения в направлении, отличном от направления вниз или вверх. Если, к примеру, груз подвешен вертикально к одному концу веревки, а другой конец держит груз в диагональной плоскости, то непараллельная система блоков принимает форму треугольника с углами в точках с первых грузом, вторым и самим блоком. В этом случае натяжение в веревке зависит как от силы тяжести, так и от составляющей силы натяжения, которая параллельна к диагональной части веревки.
  - Давайте предположим, что у нас есть система с грузом в 10 кг (m 1), подвешенным вертикально, соединенный с грузом в 5 кг(m 2), расположенным на наклонной плоскости в 60 градусов (считается, что этот уклон не дает трения). Чтобы найти натяжение в веревке, самым легким путем будет сначала составить уравнения для сил, ускоряющих грузы. Далее действуем так:
    - Подвешенный груз тяжелее, здесь нет трения, так что мы знаем, что он ускоряется вниз. Натяжение в веревке тянет вверх, так что он ускоряется по отношению к равнодействующей силе F = m 1 (g) - T, или 10(9,8) - T = 98 - T.
    - Мы знаем, что груз на наклонной плоскости ускоряется вверх. Так как она не имеет трения, мы знаем, что натяжение тянет груз вверх по плоскости, а вниз его тянет только свой собственный вес. Составляющая силы, тянущей вниз по наклонной, вычисляется как mgsin(θ), так что в нашем случае мы можем заключить, что он ускоряется по отношению к равнодействующей силе F = T - m 2 (g)sin(60) = T - 5(9,8)(0,87) = T - 42,14.
    - Если мы приравняем эти два уравнения, то получится 98 - T = T - 42,14. Находим Т и получаем 2T = 140,14, или T = 70,07 Ньютонов.
3. Используйте несколько нитей, чтобы подвесить объект. В заключение, давайте представим, что объект подвешен на «Y-образной» системе веревок - две веревки закреплены на потолке и встречаются в центральной точке, из которой идет третья веревка с грузом. Сила натяжения третьей веревки очевидна - простое натяжение в результате действия силы тяжести или m(g). Натяжения на двух остальных веревках различаются и должны составлять в сумме силу, равную силе тяжести вверх в вертикальном положении и равны нулю в обоих горизонтальных направлениях, если предположить, что система находится в состоянии покоя. Натяжение в веревке зависит от массы подвешенных грузов и от угла, на который отклоняется от потолка каждая из веревок.
  - Давайте предположим, что в нашей Y-образной системе нижний груз имеет массу 10 кг и подвешен на двух веревках, угол одной из которых составляет с потолком 30 градусов, а угол второй - 60 градусов. Если нам нужно найти натяжение в каждой из веревок, нам понадобится рассчитать горизонтальную и вертикальную составляющие натяжения. Чтобы найти T 1 (натяжение в той веревке, наклон которой 30 градусов) и T 2 (натяжение в той веревке, наклон которой 60 градусов), нужно решить:
    - Согласно законам тригонометрии, отношение между T = m(g) и T 1 и T 2 равно косинусу угла между каждой из веревок и потолком. Для T 1 , cos(30) = 0,87, как для T 2 , cos(60) = 0,5
    - Умножьте натяжение в нижней веревке (T=mg) на косинус каждого угла, чтобы найти T 1 и T 2 .
    - T 1 = 0,87 × m(g) = 0,87 × 10(9,8) = 85,26 Ньютонов.
    - T 2 =0,5 × m(g) = 0,5 × 10(9,8) = 49 Ньютонов.